0≦x+2y≦1,1≦y+z≦2,0≦x+y+z≦3


0≦x+2y≦1,1≦y+z≦2,0≦x+y+z≦3。変数変換を行います。0≦x+2y≦1,1≦y+z≦2,0≦x+y+z≦3 体積の求め方 詳く教えていただける嬉いIf。, ^^ ?how。- ++
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変数変換を行います。x+2y=u, y+z=v, x+y+z=w.①この時、積分範囲は、D={u,v,w0≦u≦1 1≦v≦2 0≦w≦3} よって、求める体積V=∫[D]Jdudvdwここで、Jはヤコビアンを表す。Jを求めるために、①をx,y,zについて解くと、x=w-v, y=1/2u+v-w, z=1/2w+v-uよって、?x/?u, ?x/?v, ?x/?w,. などを求めて計算すると、J=1/2よって、V=1/2∫0→1du∫1→2dv∫0→3dw=1/2*1*1*3=3/2参考0≦x+2y≦1,1≦y+z≦2,0≦x+y+z≦3 は、向かい合う面が平行な平行六面体です。実際に、この図形の形を知るには8つの頂点を求めるのが良いと思います。面α1 : x+2y=0面α2 : x+2y=1面β1:y+z=1面β1:y+z=2面γ1:x+y+z=0面γ1:x+y+z=3{α1,β1,γ1}の交点より、x,y,z=A-1,1/2,1/2{α1,β1,γ2}の交点より、x,y,z=B2,-1,2{α1,β2,γ1}の交点より、x,y,z=D-2,1,1{α1,β2,γ2}の交点より、x,y,z=C1,-1/2,5/2{α2,β1,γ1}の交点より、x,y,z=E-1,1,0{α2,β1,γ2}の交点より、x,y,z=F2,-1/2,3/2{α2,β2,γ1}の交点より、x,y,z=H-2,3/2,1/2{α2,β2,γ2}の交点より、x,y,z=G1,0,2この時、□ABCDと□EFHG、□BCGFと□AEHD、□CDHGと□ABFEが向かい合う面です。以上から、体積V=AE↑×AD↑?AB↑=3/2注:× は ベクトルの外積、?はベクトルの内積

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